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250 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

Haciendo el cambio de variable x =1/v se obtiene

'
∞
f X/Y (u)= f X,1/Y (ux, 1/x)|x| dx
−∞
'
∞
= f X,Y (ux, x)|x| dx.
−∞
Ejercicio. Sean X y Y independientes con distribuci´on normal est´andar.
Demuestre que X/Y tiene distribuci´on Cauchy, es decir, su funci´on de den-
sidad es
1
f(u)= , para −∞ <u < ∞.
2
π(1 + u )
!
Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y tienen
funci´on de densidad conjunta

& 2 2
3(x + y )/16 si 0 <x <y < 2,
f(x, y)=
0 otro caso.

!
Ejercicio. Sea (X, Y, Z)un vector absolutamente continuo con funci´on de
densidad f X,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable X/(YZ)tiene funci´on
de densidad

' '
∞ ∞
f(u)= f X,Y,Z (uvw, v, w) |vw| dv dw.
−∞ −∞
Aplique este resultado al caso cuando X, Y y Z son independientes cada
una de ellas con distribuci´on unif(0, 1). !

Las f´ormulas para la funci´on de densidad de las operacionesb´asicasentre dos
variables aleatorias encontradas en este cap´ıtulo se resumen en la siguiente
tabla.