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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 249
Ahora usaremos el procedimiento usual de encontrar primero la funci´on de
distribuci´on y despu´es derivar para encontrar la funci´onde densidad.
F X/Y (u)= P(X/Y ≤ u)
''
= f X,Y (x, y) dx dy
x/y≤u
0 ∞ ∞ uy
' ' ' '
= f X,Y (x, y) dx dy + f X,Y (x, y) dx dy.
−∞ uy 0 −∞
La regi´on de integraci´on se muestra en la Figura 5.9.
y y y
x x x
u< 0 u =0 u> 0
Figura 5.9: Regi´on de integraci´on x/y ≤ u.
Derivando respecto a u,
0 ∞
' '
f X/Y (u)= − f X,Y (uy, y)ydy + f X,Y (uy, y)ydy
−∞ 0
'
∞
= f X,Y (uy, y)|y| dy.
−∞
Apartir de la f´ormula para el producto de dos variables aleatorias se puede
construir una tercera demostraci´on de (5.9) de la siguienteforma.
'
∞
f X/Y (u)= f X·(1/Y ) (u)= f X,1/Y (u/v, v) |1/v| dv.
−∞
