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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 247

La regi´on de integraci´on se muestra en la Figura 5.8.

y y y

x x x

u< 0 u =0 u> 0
Figura 5.8: Regi´on de integraci´on xy ≤ u.

Derivando respecto a u,

0
'
f XY (u)= f X,Y (x, u/x)(−1/x) dydx
−∞
'
∞
+ f X,Y (x, u/x)(1/x) dydx.
0
'
∞
= f X,Y (x, u/x)|1/x| dx,
−∞
que corresponde a (5.8), equivalente a (5.7).

Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de XY cuando X y Y tienen
funci´on de densidad conjunta

& 2 2
3(x + y )/16 si 0 <x <y < 2,
f(x, y)=
0 otro caso.
!
Ejercicio. Sea (X, Y, Z)un vector absolutamente continuo con funci´on de
densidad f X,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable XY Z tiene funci´on de
densidad
' '
∞ ∞ u 1
f(u)= f X,Y,Z ( ,v,w) | | dv dw.
vw vw
−∞ −∞