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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 243

Proposici´ on.Sea (X, Y )un vector absolutamente continuo con funci´on
de densidad f X,Y (x, y). Entonces X − Y tiene funci´on de densidad

'
∞
f X−Y (u)= f X,Y (u + v, v) dv. (5.5)
−∞

2
Demostraci´on. Procedemos como en la secci´on anterior. Sea ϕ : R → R 2
la transformaci´on ϕ(x, y)= (x − y, y)con inversa ϕ −1 (u, v)= (u + v, v). El
Jacobiano de la transformaci´on inversa es
B −1 −1 B B B
B ∂ u ϕ ∂ v ϕ B B 11 B
J(u, v)= B 1 1 B = B B =1.
B ∂ u ϕ −1 ∂ v ϕ −1 B B 01 B
2
2
Por la f´ormula (5.1), f X−Y,Y (u, v)= f X,Y (u + v, v). Integrando respecto a
v se obtiene (5.5).

Con el cambio de variable z(v)= u + v en (5.5) se obtiene la expresi´on
equivalente
'
∞
f X−Y (u)= f X,Y (z, z − u) dz. (5.6)
−∞
Cuando X y Y son independientes la f´ormula (5.5) se reduce a

'
∞
f X−Y (u)= f X (u + v)f Y (v) dv.
−∞
En el caso discreto cuando X y Y son independientes con valores enteros, la
variable X−Y tambi´en toma valores enteros, y tiene funci´on de probabilidad

"
f X−Y (u)= f X (u + k)f Y (k),
k
en donde la suma se toma sobre todos los posibles valores enteros k que Y
puede tomar.