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242 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

distribuci´on unif(0, 1). !

Convoluci´ on. La convoluci´on de dos funciones de densidad continuas f 1
y f 2 ,es una funci´on de densidad denotada por f 1 ∗f 2 ,y definida como sigue
'
∞
(f 1 ∗ f 2 )(x)= f 1 (x − y)f 2 (y) dy.
−∞

M´as generalmente, la convoluci´on de dos funciones de distribuci´on F 1 y F 2
es la funci´on de distribuci´on
'
∞
(F 1 ∗ F 2 )(x)= F 1 (x − y)dF 2 (y).
−∞
En consecuencia, si X y Y son dos variables aleatorias independientes con
correspondientes funciones de distribuci´on F X y F Y ,entonces la funci´on de
distribuci´on de la variable X + Y es la convoluci´on F X ∗ F Y .No es dif´ıcil
comprobar que F X ∗ F Y = F Y ∗ F X .En particular,la suma de n variables
aleatorias independientes todas con la misma funci´on de distribuci´on F tiene
funci´on de distribuci´on F ∗ ··· ∗ F,que se escribe simplemente como F ∗n .

Observe que hemos denotado la convoluci´on por el mismo s´ımbolo, primero
cuando los argumentos son funciones de densidad y en el otro cuando son
funciones de distribuci´on. Para el caso de funciones de distribuci´on absolu-
tamente continuas, se tiene la relaci´on
d
(F 1 ∗ F 2 )(x)= (f 1 ∗ f 2 )(x).
dx

Distribuci´on de la diferencia

Se encontrar´a ahora una f´ormula para la funci´on de densidad de la diferencia
de dos variables aleatorias.