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240 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

Integrando respecto de u eintercambiando el orden delas integrales se
obtiene la correspondiente funci´on de distribuci´on
'
∞
F X+Y (u)= F X (u − v) dF Y (v).
−∞
M´as generalmente, puede demostrarse que esta f´ormula es v´alida para cua-
lesquiera dos variables aleatorias independientes X y Y ,incluyendo el caso
cuando una de ellas es discreta y la otra continua.

En el caso cuando X y Y son discretas, independientes y con valores enteros,
es sencillo verificar que la funci´on de probabilidad de X +Y es, en completa
(
analog´ıa con (5.4), f X+Y (u)= k f X (u − k)f Y (k), en donde la suma se
toma sobre todos los posibles valores enteros k que la variable aleatoria Y
puede tomar.

Ejercicio. Use la f´ormula anterior para demostrar que si X y Y son inde-
pendientes con distribuci´on bin(n, p)y bin(m, p)respectivamente, entonces
X + Y tiene distribuci´on bin(n + m, p). !

Puede obtenerse la misma f´ormula (5.2) mediante el procedimiento usual
de encontrar primero la funci´on de distribuci´on de X + Y ydespu´es deri-
var para encontrar la funci´on de densidad. El procedimientose muestraa
continuaci´on.

F X+Y (u)= P(X + Y ≤ u)
''
= f X,Y (x, y) dy dx
x+y≤u
' ' u−x
∞
= f X,Y (x, y) dy dx.
−∞ −∞

La regi´on de integraci´on se muestra en la Figura 5.6.

Derivando respecto a u se obtiene

'
∞
f X+Y (u)= f X,Y (x, u − x) dx,
−∞