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236 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

(X, Y ) ϕ
Ω R 2 R 2

(U, V )= ϕ(X, Y )

Figura 5.4: La composici´on ϕ ◦ (X, Y ).

Teorema de cambio de variable 3.Sea (X, Y )un vector conti-
2
nuo con valores en I ⊆ R ,y con funci´on de densidad f X,Y (x, y). Sea
2
ϕ(x, y): I → R una funci´on continua con inversa ϕ −1 (u, v)diferencia-
ble. Entonces el vector (U, V )= ϕ(X, Y )toma valores en ϕ(I)y tiene
funci´on de densidad
2
f X,Y (ϕ −1 (u, v)) |J(u, v)| para (u, v) ∈ ϕ(I),
f U,V (u, v)= (5.1)
0 otro caso,

en donde
B −1 −1 B
B ∂ u ϕ ∂ v ϕ B
J(u, v)= B 1 −1 1 B .
B ∂ u ϕ 2 ∂ v ϕ −1 B
2

Una prueba rigurosa de este teorema resulta ser un tanto elaborada y la
omitiremos. Sin embargo, puede usarse el siguiente argumento intuitivo para
encontrar la f´ormula enunciada. Sea

(U, V )= ϕ(X, Y )= (ϕ 1 (X, Y ), ϕ 2 (X, Y )),
con inversa

(X, Y )= ϕ −1 (U, V )= (ϕ −1 (U, V ), ϕ −1 (U, V )).
1 2
Sea A el rect´angulo de ´area infinitesimal de esquinas con coordenadas (x, y), (x+
dx, y), (x, y + dy)y (x + dx, y + dy). Bajo la transformaci´on ϕ las coorde-
nadas de las esquinas del rect´angulo A se transforman en las siguientes