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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 233

la variable aleatoria Y = −(1/λ)ln X tiene distribuci´on exp(λ). !

Teorema de cambio de variable 2.Sea X una variable aleatoria
continua con valores dentro de un intervalo (a, c) ⊆ R,y con funci´on
de densidad f X (x). Sea ϕ :(a, c) → R una funci´on tal que admite la
descomposici´on

&
ϕ 1 (x) si x ∈ (a, b),
ϕ(x)=
ϕ 2 (x) si x ∈ (b, c),
en donde a< b< c,y cada una de las funciones ϕ 1 (x): (a, b) → R y
ϕ 2 (x): (b, c) → R es continua, estrictamente creciente o decreciente, y
con inversa diferenciable. Entonces la variable aleatoria Y = ϕ(X)toma
valores dentro del intervalo ϕ(a, c), y tiene funci´on de densidad
d
f Y (y)= f X (ϕ −1 (y)) | dy ϕ −1 (y)|· 1 ϕ 1 (a,b) (y)
1
1
d
+ f X (ϕ −1 (y)) | ϕ −1 (y)|· 1 ϕ 2 (b,c) (y).
2
dy 2

Demostraci´on. La prueba es an´aloga al caso anterior, ´unicamente hay que
hacer el an´alisis sobre cada uno de los intervalos de monoton´ıa estricta. Para
cualquier y en R,

F Y (y)= P(Y ≤ y)
= P(ϕ(X) ≤ y)
= P[(ϕ 1 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (a, b))]
+ P[(ϕ 2 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (b, c))].
Nos interesa el comportamiento de estas probabilidades comofunciones de
y,puesto que calcularemos la derivada de ellas para encontrar f Y (y). Por
ejemplo, la primera probabilidad, vista como funci´on de y,es
y 8→ P[(ϕ 1 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (a, b))],