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238 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

En donde

´
“Area de ϕ(A)” = |∂ x ϕ 1 · ∂ y ϕ 2 − ∂ x ϕ 2 · ∂ y ϕ 1 | dxdy
BB BB
BB ∂ x ϕ 1 ∂ y ϕ 1 BB
= BB BB dxdy
BB BB
∂ x ϕ 2 ∂ y ϕ 2
= |J(x, y)| dxdy.
1
Adem´as |J(x, y)| = .Por lo tanto
|J(u, v)|
dxdy
f X,Y (x, y) dxdy = f U,V (u, v) .
|J(u, v)|

Es decir, f U,V (u, v)= f X,Y (ϕ −1 (u, v), ϕ −1 (u, v))|J(u, v)|.
1
2
Como ejemplo de aplicaci´on de esta f´ormula, en las secciones siguientes en-
contraremos expresiones para la funci´on de densidad de la suma, diferencia,
producto y cociente de dos variables aleatorias.
Las f´ormulas generales sobre transformaciones encontradas hasta ahora se
resumen en la siguiente tabla, que s´olo sirve como referencia general pues
no se mencionan las condiciones precisas de su validez.

Transformaciones

d
Y = ϕ(X) ⇒ f Y (y)= f X (ϕ −1 (y)) | ϕ −1 (y)|.
dy
(U, V )= ϕ(X, Y ) ⇒ f U,V (u, v)= f X,Y (ϕ −1 (u, v)) |J(u, v)|,
B −1 B
B ∂ u ϕ ∂ v ϕ −1 B
en donde J(u, v)= B 1 −1 1 B .
B ∂ u ϕ 2 ∂ v ϕ −1 B
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