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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 239

Distribuci´on de la suma

El siguiente resultado proporciona una f´ormula para la funci´on de densidad
de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas.

Proposici´ on.Sea (X, Y )un vector absolutamente continuo con funci´on
de densidad f X,Y (x, y). Entonces X + Y tiene funci´on de densidad

'
∞
f X+Y (u)= f X,Y (u − v, v) dv. (5.2)
−∞

2
2
Demostraci´on. Sea ϕ : R → R la transformaci´on ϕ(x, y)= (x + y, y), con
inversa ϕ −1 (u, v)= (u − v, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es
B −1 −1 B B B
B ∂ u ϕ ∂ v ϕ B B 1 −1 B
J(u, v)= B 1 1 B = B B =1.
B ∂ u ϕ −1 ∂ v ϕ −1 B B 0 1 B
2 2
Por la f´ormula (5.1), f X+Y,Y (u, v)= f X,Y (u − v, v). Integrando respecto a
v se obtiene (5.2).

Observe que haciendo el cambio de variable z(v)= u − v en (5.2) se obtiene
la expresi´on equivalente
'
∞
f X+Y (u)= f X,Y (z, u − z) dz. (5.3)
−∞
Ello refleja el hecho de que la suma de dos variables aleatoriases conmuta-
tiva. En particular, cuando X y Y son independientes, la f´ormula (5.2) se
reduce a
∞
'
f X+Y (u)= f X (u − v)f Y (v) dv (5.4)
−∞
'
∞
= f X (u − v) dF Y (v).
−∞