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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 241

y
u

x

Figura 5.6: Regi´on de integraci´on x + y ≤ u.

que corresponde a la expresi´on (5.3) equivalente a (5.2).

Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on normal
est´andar. Use (5.2) para demostrar que X + Y tiene distribuci´on N(0, 2), es
decir, su funci´on de densidad es
1 2
f(u)= √ e −u /4 .
2 π

!

Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de X + Y cuando X y Y
tienen funci´on de densidad conjunta

& 2 2
3(x + y )/16 si 0 <x <y < 2,
f(x, y)=
0 otro caso.
!
Ejercicio. Sea (X, Y, Z)un vector absolutamente continuo con funci´on de
densidad f X,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable X + Y + Z tiene funci´on
de densidad
' '
∞ ∞
f(u)= f X,Y,Z (u − y − z, y, z) dydz.
−∞ −∞
Aplique esta f´ormula para encontrar la funci´on de densidadde la suma
de tres variables aleatorias independientes, en donde cada sumando tiene