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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 237

coordenadas:

(x, y) 8→ (ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y)).

(x + dx, y) 8→ (ϕ 1 (x + dx, y), ϕ 2 (x + dx, y))
.
=(ϕ 1 (x, y)+ ∂ x ϕ 1 (x, y)dx, ϕ 2 (x, y)
+∂ x ϕ 2 (x, y)dx.

(x, y + dy) 8→ (ϕ 1 (x, y + dy), ϕ 2 (x, y + dy))
.
=(ϕ 1 (x, y)+ ∂ y ϕ 1 (x, y)dy, ϕ 2 (x, y)
+∂ y ϕ 2 (x, y)dy.

(x + dx, y + dy) 8→ (ϕ 1 (x + dx, y + dy), ϕ 2 (x + dx, y + dy))
.
=(ϕ 1 (x, y)+ ∂ x ϕ 1 (x, y)dx + ∂ y ϕ 1 (x, y)dy,
ϕ 2 (x, y)+ ∂ x ϕ 2 (x, y)dx + ∂ y ϕ 2 (x, y)dy).

Gr´aficamente la transformaci´on de estos puntos se muestra en la Figura 5.5.

(ϕ 1 + ∂ y ϕ 1 , ϕ 2 + ∂ y ϕ 2 )
y + dy ϕ
(ϕ 1 + ∂ x ϕ 1 + ∂ y ϕ 1 ,
A ϕ(A) ϕ 2 + ∂ x ϕ 2 + ∂ y ϕ 2 )
y
(ϕ 1 , ϕ 2 )
(ϕ 1 + ∂ x ϕ 1 , ϕ 2 + ∂ x ϕ 2 )
x x + dx
Figura 5.5: La transformaci´on ϕ aplicada al rect´angulo A.

Entonces P((X, Y ) ∈ A)= P((U, V ) ∈ ϕ(A)). Por lo tanto
´
f X,Y (x, y) dxdy = f U,V (u, v) × “Area de ϕ(A)”.