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232 5.1. Transformaci´ on de una variable aleatoria

gr´afica ha sido mostrada antes en la Figura 2.24.

⎧
1 (ln y − µ) 2
⎪
√ exp [− 2
⎨ ] si y> 0,
f Y (y)= y 2πσ 2 2σ
⎪
0 si y ≤ 0.
⎩
!
Ejemplo.(Distribuci´ on log gama). Sea X con distribuci´on gama(n, λ),
x
ysea nuevamente ϕ(x)= e ,con inversa diferenciable ϕ −1 (y)= ln y.En-
tonces la variable aleatoria Y = e X toma valores en el intervalo (0, ∞), y
su distribuci´on se conoce como distribuci´on log gama(n, λ). Su funci´on de
densidad es
⎧
⎪ (λ ln y) n−1
⎨ λy −λ−1 si y> 0,
f Y (y)= Γ(n)
⎪
0 si y ≤ 0.
⎩
!
El resultado anterior puede extenderse al caso en el que la transformaci´on ϕ
es estrictamente mon´otona por pedazos. Se enuncia y demuestra a continua-
ci´on este resultado cuando la transformaci´on se descompone en dos partes
mon´otonas, siendo f´acil la extensi´on cuando se tiene un mayor n´umero de
secciones.

Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad del cuadrado de una variable
aleatoria con distribuci´on exp(λ). !
Ejercicio. Sea X con distribuci´on unif(0, 1) y sea λ > 0. Demuestre que