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230 5.1. Transformaci´ on de una variable aleatoria

X ϕ

ω X(ω) ϕ(X(ω))
Ω R R

Y = ϕ(X)

Figura 5.1: La composici´on Y = ϕ ◦ X.

Teorema de cambio de variable 1.Sea X una variable aleatoria
continua con valores dentro de un intervalo (a, b) ⊆ R,y con funci´on de
densidad f X (x). Sea ϕ :(a, b) → R una funci´on continua, estrictamente
creciente o decreciente, y con inversa diferenciable. Entonces la variable
aleatoria Y = ϕ(X)toma valores dentro del intervalo ϕ(a, b), y tiene
funci´on de densidad

⎧ d
f X (ϕ (y)) | ϕ (y)| para y ∈ ϕ(a, b),
⎨ −1 −1
f Y (y)= dy
0 otro caso.
⎩

Demostraci´on. Suponga primero el caso ϕ estrictamente creciente. Entonces
para y ∈ ϕ(a, b),

F Y (y)= P(Y ≤ y)
= P(ϕ(X) ≤ y)
= P(X ≤ ϕ −1 (y))

= F X (ϕ −1 (y)).