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226 4.5. Ejercicios

4.5. Ejercicios

Esperanza condicional

402. Demuestre que si c es una constante, entonces E(c | G )= c,para
cualquier sub-σ-´algebra G .
403. Sea A un evento. Demuestre que E(1 A |{∅, Ω})= P(A).

404. Sea X integrable y sea Y constante. Demuestre que E(X | Y )= E(X).

405. Sea X una variable aleatoria con esperanza finita. Demuestre que
E(X |{∅, Ω})= E(X).
406. Sean A y B dos eventos tales que 0 <P(B) < 1. Demuestre que

&
P(A | B) si ω ∈ B,
E(1 A | 1 B )(ω)=
c
P(A | B )si ω /∈ B.
407. Sea X con esperanza finita y sea B un evento tal que 0 <P(B) < 1.
c
c
Demuestre que E(X |{∅,B,B , Ω})= E(X | B)1 B + E(X | B )1 B .
c
408. Encuentre E(X | Y )cuando X y Y se distribuyen de manera conjunta
de acuerdo a la siguiente tabla.
x\y -1 0 1
1 2/12 2/12 2/12
2 3/12 2/12 1/12

409. Encuentre una distribuci´on conjunta de dos variables aleatorias X y
Y de tal forma que E(X | Y )tenga distribuci´on unif{−1, 1}.

410. Se ha demostrado que si X ≥ 0es integrable, entonces E(X | G ) ≥ 0.
Demuestre que el rec´ıproco es en general falso.

411. Sea c una constante. Diga falso o verdadero. Demuestre o proporcione
un contraejemplo.