Page 235 - cip2007

Cap´ ıtulo 4. Esperanza condicional 223

presentada en esta secci´on, aunque tambi´en sencilla y breve, puede encon-
trarse en [24]. Un tratamiento m´as completo y riguroso puedeconsultarse
por ejemplo en [18] o [31].

4.4. Varianza condicional

Usando la esperanza condicional se puede obtener la varianzacondicional
de una variable aleatoria respecto de una σ-´algebra de la siguiente forma.

Definici´ on. (Varianza condicional). Sea X con segundo momento
finito, y sea G una sub-σ-´algebra de F.La varianza condicional de X
dado G ,denotada por Var(X | G ), se define como la variable aleatoria

2
Var(X | G )= E[(X − E(X|G )) | G ].

Nuevamente hacemos ´enfasis en que la varianza condicional no es necesa-
riamente un n´umero sino una variable aleatoria en general, G -medible por
definici´on, y como en el caso no condicional, es no negativa. Despu´es de
un c´alculo sencillo se puede comprobar que se reconstruye lavarianza no
condicional en el siguiente caso particular: Var(X |{∅, Ω})= Var(X).

Demostraremos a continuaci´on algunas propiedades elementales de esta va-
riable aleatoria. Otras propiedades se encuentran en la secci´on de ejercicios.