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Cap´ ıtulo 4. Esperanza condicional 219

σ-´algebra {∅, Ω} es constante. La tercera condici´on en la definici´on
general de esperanza condicional implica que esta constantedebe ser
E(X).

2. Esta igualdad es evidentemente un caso particular de la primera.

3. Observe que toda funci´on medible respecto de la σ-´algebra G dada
c
c
por {∅,B,B , Ω} es constante tanto en B como en B .Adem´as,
' '
E(1 A | G ) dP = 1 A dP = P(A ∩ B).
B B
Como la variable aleatoria E(1 A | G )es constante en B,el lado izquier-
do es igual a E(1 A | G )(ω) P(B), para cualquier ω en B.De donde se
obtiene E(1 A | G )(ω)= P(A | B), para cualquier ω en B.El an´alisis
c
es an´alogo al considerar el evento B ,y de esto se obtiene la f´ormula
enunciada.

Observe en particular que la tercera propiedad dice que si la σ-´algebra
c
G es generada por la partici´on elemental {B, B },entonces la esperanza
condicional de 1 A es una variable aleatoria que toma dos valores: P(A | B)
c
c
sobre B,y P(A | B )sobre B .Elsiguiente ejercicio es una generalizaci´on
de este resultado.
Ejercicio. Sea B 1 ,... ,B n una partici´on de Ω tal que cada uno de estos
elementos tiene probabilidad estrictamente positiva. Demuestre que para
cualquier evento A,

n
"
E(1 A | σ{B 1 ,... ,B n })= P(A | B i )1 B i .
i=1

!
Ejercicio. Encuentre una distribuci´on conjunta de dos variables aleatorias