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220 4.2. Esperanza condicional: caso discreto

X y Y de tal forma que E(X | Y )tenga distribuci´on Ber(p). !

La variable E(X | G )puede interpretarse como la esperanza condicional de
X dada la informaci´on de la σ-´algebra G .Ilustraremos esto en elsiguiente
ejemplo.

Ejemplo.Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado equilibrado
eintentar adivinar el resultado que seobtiene. Suponga, porejemplo, que
se apuesta a que se obtiene el n´umero ”2”. Defina los eventos A = {2}, B =
c
{2, 4, 6} yla colecci´on G = {∅, Ω,B,B }.Esta σ-´algebra puede distinguir
los resultados ”Cae n´umero par”, evento B,y ”Cae n´umero impar”, evento
c
B .Entonces
c
E(1 A | G )= P(A | B)1 B (ω)+ P(A | B )1 B (ω)
c
1
= 1 B (ω)+ 0 1 B (ω)
c
3
1
⎧
⎨ si ω ∈ B,
= 3
0 si ω ∈ B .
⎩ c
De esta forma E(1 A | G )es una funci´on que reporta las probabilidades de
ganar apostando por el n´umero ”2” en cada una de las dos situaciones que
la σ-´algebra G distingue: resultado par o impar.

Ω
Si se toma, en cambio, G =2 con Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},es decir, la σ-´alge-
bra ”distingue” totalmente el resultado del lanzamiento deldado,entonces
definiendo los eventos B i = {i},para i =1,... , 6, tenemos

6
"
E(1 A | G )= P(A | B i )1 B i = P(A | A)1 A =1 A .
i=1

Es decir, no hay sorpresas, cuando se sabe con precisi´on el resultado del
experimento, conocemos obviamente la probabilidad de ganarapostando
por el numero ”2”, ´esta es cero o uno. !