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Cap´ ıtulo 4. Esperanza condicional 217

Proposici´ on. (Esperanza condicional, caso discreto). Sea X
una variable aleatoria integrable, y sea Y discreta con valores y 1 ,y 2 ,...
La funci´on E(X | Y ): Ω → R dada por

ω 8→ E(X | Y )(ω)= E(X | Y = y j )si Y (ω)= y j ,

es una variable aleatoria que cumple las siguientes propiedades.

a) Es σ(Y )-medible.

b) Tiene esperanza finita.

c) Para cualquier evento G en σ(Y ),
' '
E( X | Y ) dP = XdP. (4.2)
G G

Demostraci´on.

a) A trav´es de sus posibles valores la variable aleatoria Y secciona el es-
pacio muestral Ω en eventos disjuntos, a saber, (Y = y 1 ), (Y = y 2 ),...
La m´ınima σ-´algebra respecto de la cual la funci´on Y es variable alea-
toria es σ(Y )= σ{(Y = y 1 ), (Y = y 2 ) ...} ⊆ F.Como E(X | Y )es
constante en cada elemento de la partici´on, resulta que estafunci´on
es σ(Y )-medible, y en consecuencia es verdaderamente una variable
aleatoria.

b) Tomando el evento G como Ω en la tercera propiedad se obtiene que
tanto X como E(X | Y )tienen la misma esperanza.

c) Como cada elemento de σ(Y )es una uni´on ajena de elementos de la
forma (Y = y j ), por propiedades de la integral es suficiente demos-