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Cap´ ıtulo 4

Esperanza condicional

En este cap´ıtulo se presenta una breve introducci´on al concepto de espe-
ranza condicional de una variable aleatoria respecto de una σ-´algebra, y
se estudian algunas de sus propiedades elementales. Consideraremos que se
cuenta con un espacio de probabilidad base (Ω, F,P), y que G es una sub
σ-´algebra de F.Hemos definido antes la esperanza de una variable aleatoria
X como la integral de Riemann-Stieltjes

'
∞
E(X)= xdF X (x),
−∞
sin embargo, para hacer la notaci´on m´as simple en este cap´ıtulo, es conve-
niente en algunas ocasiones adoptar la notaci´on de la teor´ıa de la medida
ydenotar la esperanza de una variable aleatoria X mediante la siguiente
integral
'
E(X)= XdP.
Ω
Esto corresponde a la integral de Lebesgue de la funci´on medible X respecto
de la medida de probabilidad P.

Recordemos que si se conoce la distribuci´on de un vector (X, Y )y se toma
un valor y tal que f Y (y) ̸=0, la esperanza condicional de X dado Y = y es

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