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214 4.1. Esperanza condicional

la funci´on
'
∞
y 8→ E(X | Y = y)= xdF X|Y (x|y),
−∞
cuando f Y (y) ̸=0. De manera an´aloga, si A es un evento con probabilidad
positiva y X es una variable aleatoria integrable, la esperanza condicional
de X dado A es el n´umero
'
∞
E(X | A)= xdF X|A (x),
−∞
en donde F X|A (x)= P(X ≤ x | A)= P(X ≤ x, A)/P(A). La esperanza
condicional que definiremos en este cap´ıtulo generaliza estos conceptos.

4.1. Esperanza condicional

He aqui la definici´on general. Es importante hacer ´enfasis que la esperanza
condicional, a pesar de su nombre, no es un n´umero, aunque puede serlo,
sino una variable aleatoria.

Definici´ on. (Esperanza condicional). Sea X una variable aleatoria
con esperanza finita, y sea G una sub-σ-´algebra de F.La esperanza con-
dicional de X dado G ,es una variable aleatoria denotada por E(X | G ),
que cumple las siguientes tres propiedades.

a) Es G -medible.

b) Tiene esperanza finita.

c) Para cualquier evento G en G ,
' '
E( X | G ) dP = XdP. (4.1)
G G