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212 3.13. Ejercicios

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399. Sea (X, Y )un vector con distribuci´on normal (µ X , σ ,µ Y , σ , ρ). De-
X
Y
muestre que E(X)= (µ X ,µ Y ), y
4 2 5
σ ρσ X σ Y
Var(X, Y )= X 2 .
ρσ X σ Y σ Y
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400. Sea (X, Y )un vector con distribuci´on normal N(µ 1 , σ ,µ 2 , σ , ρ). De-
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muestre que la distribuci´on condicional de Y dado que X = x es
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normal con media µ 2 + ρ(x − µ 1 )σ 2 /σ 1 yvarianza σ (1 − ρ ), y que la
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distribuci´on condicional de X dado que Y = y es normal con media
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µ 1 + ρ(y − µ 2 )σ 1 /σ 2 yvarianza σ (1 − ρ ).
1
401. Demuestre que a trav´es del cambio de variable (u, v)= ((x−µ X )/σ X , (y−
µ Y )/σ Y ), la funci´on de densidad normal bivariada se puede escribir
como sigue
1 1 1
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f(u, v)= : exp ( − (u − ρv) − v ).
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2π 1 − ρ 2 2(1 − ρ ) 2
:
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Sea c> 0y defina k =1/(2πc 1 − ρ ). Demuestre ahora que las
l´ıneas de contorno f(u, v)= c son las elipses
(u − ρv) 2 + v 2 =1.
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ln k 2(1−ρ ) ln k 2
2
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Cuando ρ =0 las elipses se reducen al c´ırculo u + v =ln k .