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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 207

n m n m
" " " "
b)Cov( a i X i , b j Y j )= a i b j Cov(X i ,Y j ).
i=1 j=1 i=1 j=1
368. Sean X 1 ,... ,X n independientes y con varianza finita. Demuestre que

n
"
Var(X 1 + ··· + X n )= Var(X k ).
k=1

369. Sean X 1 ,... ,X n independientes y con id´entica distribuci´on. Defina
¯
X =(X 1 + ··· + X n )/n.Demuestre que para cada k =1,... ,n,
¯ ¯
Cov(X k − X, X)= 0.
370. Sea (X, Y )con distribuci´on uniforme en el conjunto {1,... ,n}×{1,... ,n}.
Demuestre que Cov(X, Y )= 0.

371. Sea (X, Y )con distribuci´on uniforme en el conjunto (a, b) × (c, d).
Demuestre que Cov(X, Y )= 0.

372. Calcule la covarianza de X y Y cuya funci´on de densidad conjunta
est´a dada por la siguiente tabla.

x\y -1 0 1
-1 1/12 2/12 3/12
1 3/12 2/12 1/12

373. Calcule la covarianza de X y Y cuya funci´on de densidad conjunta
est´a dada por la siguiente tabla.

x\y 1 2 3
2 .2 .05 .15
4 .05 .1 .15
6 .05 .1 .15

374. Calcule la covarianza de X y Y ,cuya funci´on de densidad conjunta es
1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab