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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 205

a)Grafique f(x, y)y compruebe que efectivamente es una funci´on
de densidad conjunta.
b)Calcule y grafique las densidades marginales f X (x)y f Y (y). Ve-
rifique que ambas son efectivamente funciones de densidad.
c)Demuestre que X y Y no son independientes.
d)Calcule E(XY )y f X+Y (u).

359. Sea (X, Y )un vector aleatorio con funci´on de densidad dada por

&
8xy si 0 <y <x < 1,
f(x, y)=
0 otro caso.
a)Grafique f(x, y)y compruebe que efectivamente es una funci´on
de densidad conjunta.
b)Encuentre y grafique las densidades marginales f X (x)y f Y (y).
Verifique que ambas son efectivamente funciones de densidad.
c)Demuestre que X y Y no son independientes.
d)Calcule E(XY )y f X+Y (u).

Esperanza y varianza de un vector

360. Calcule la esperanza y varianza del vector aleatorio (X, Y )cuya fun-
ci´on de densidad conjunta es
1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab
b) f(x, y)= 4xy, para x, y ∈ [0, 1].

Covarianza

361. Sea a cualquier n´umero real fijo. Encuentre variables aleatorias X y
Y tales que Cov(X, Y )= a,