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202 3.13. Ejercicios

a)Grafique y demuestre que f(x, y)es una funci´on de densidad.
b)Encuentre las funciones de densidad marginales f X (x)y f Y (y).
c)Determine si X y Y son independientes.
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d)Calcule P(Y> X)y P(Y> X ).
344. Sea (X, Y )un vector con funci´on de densidad f(x, y)= c |x + y|,para
−1 <x, y < 1.

a)Encuentre el valor de la constante c que hace a f(x, y)una funci´on
de densidad y grafique esta funci´on.
b)Calcule P(X> 0), P(XY > 0) y P(0 <X + Y< 1).
c)Encuentre las funciones de densidad marginales f X (x)y f Y (y).
d)Determine si X y Y son independientes.

345. Sean X y Y independientes con distribuci´on bin(n, p)y bin(m, p),
respectivamente. Demuestre que X+Y tiene distribuci´on bin(n+m, p).

346. Sean X y Y independientes con distribuci´on Poisson con par´ametros
λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que X + Y tiene distribuci´on
Poisson(λ 1 + λ 2 ).

347. Sea (X, Y, Z)un vector aleatorio con funci´on de densidad f(x, y, z)=
8xyz,para 0 <x, y, z < 1.

a)Compruebe que f(x, y, z)es una funci´on de densidad.
b)Calcule P(X< Y < Z)y P(X + Y + Z< 1).

c)Encuentre f X,Y (x, y), f X,Z (x, z)y f Y,Z (y, z).
d)Determine si X, Y y Z son independientes.

348. Sea (X, Y, Z)un vector aleatorio con funci´on de densidad f(x, y, z)=
24x,para 0 <x < y < z < 1.

a)Compruebe que f(x, y, z)es una funci´on de densidad.
b)Calcule P(X + Y< 1) y P(Z − X> 1/2).