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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 199

d) f(x, y)= e −x−y , para x, y > 0.
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e) f(x, y)= 3(x + y )/8, para x, y ∈ [−1, 1].
f ) f(x, y)= 3x(1 − xy), para 0 <x, y < 1.
323. Determine si las siguientes son funciones de distribuci´on de variables
aleatorias independientes.

a) F(x, y)= (1 − e −x )(1 − e −y ), para x, y > 0.
b) F(x, y)= (1 − e −x 2 )(1 − e −y 2 ), para x, y > 0.

324. Demuestre que X y Y son independientes si, y s´olo si, cualquiera de
las siguientes condiciones se cumple: Para cada par de n´umeros reales
x y y,

a) P(X> x, Y > y)= P(X> x) P(Y> y).
b) P(X ≤ x, Y > y)= P(X ≤ x) P(Y> y).
c) P(X> x, Y ≤ y)= P(X> x) P(Y ≤ y).

325. Demuestre que X y Y son independientes si, y s´olo si, para cuales-
quiera n´umeros reales a< b y c< d,

P(a< X ≤ b, c < Y ≤ d)= P(a< X ≤ b) P(c< Y ≤ d).

326. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

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a) X, Y independientes ⇔ X, Y independientes.
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b) X, Y independientes ⇔ X ,Y independientes.
c) X, Y independientes ⇔ X + Y, Y independientes.
d) X, Y independientes ⇔ X + Y, X − Y independientes.
e) X, Y independientes ⇔ XY, Y independientes.
f ) X, Y, Z independientes ⇔ X + Y, Z independientes.
g) X, Y, Z independientes ⇔ XY, Z independientes.