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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 203

c)Encuentre f X,Y (x, y), f X,Z (x, z)y f Y,Z (y, z).
d)Determine si X, Y y Z son independientes.

349. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes
cada una con distribuci´on unif(0, 1). Demuestre que para cualquier
λ > 0,
l´ım P(m´ax{X 1 ,... ,X n } ≤ 1 − λ/n)= e −λ .
n→∞
350. Sean X y Y independientes con distribuci´on Poisson de par´ametros
λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que

λ 1
E(X | X + Y = n)= n · .
λ 1 + λ 2

351. Encuentre una distribuci´on conjunta de dos variables aleatorias X y
Y que no sean independientes y que Y tenga distribuci´on marginal
Ber(p).

Esperanza de una funci´on de un vector aleatorio

352. Demuestre que la condici´on E(XY )= E(X)E(Y )no implica necesa-
riamente que X y Y son independientes. Para ello considere cualquiera
de los siguientes ejemplos.
⎧
⎨ 1/8 si (x, y)= (1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1),
a) f(x, y)= 1/2 si (x, y)= (0, 0),
⎩
0 otro caso.
2
2
b) f(x, y)= 3(x + y )/8, para x, y ∈ [−1, 1].
c) X con distribuci´on uniforme en {−1, 0, 1} y Y =1 (X̸=0) .
353. Demuestre que si las variables X 1 ,... ,X n son independientes e inte-
grables, entonces E(X 1 ··· X n )= E(X 1 ) ··· E(X n ).

354. Sean X y Y independientes. Diga falso o verdadero justificando en
cada caso.