Page 212 - cip2007

200 3.13. Ejercicios

327. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on normal est´andar.
Demuestre que Z = aX + bY + c tiene distribuci´on normal cuando
ab ̸=0. Encuentre la esperanza y varianza de Z.

328. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes cada una con dis-
tribuci´on Ber(p). Calcule P(X 1 + ··· + X n = k)para k =0, 1,... ,n.

329. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on unif{1,... ,n}.En-
cuentre la distribuci´on del vector (U, V )= (X +Y, X −Y ). Determine
adem´as si las variables U y V son independientes.

330. Sean X y Y independientes con valores enteros naturales y con espe-
ranza finita. Demuestre que
∞
"
E(m´ın{X, Y })= P(X ≥ n)P(Y ≥ n).
n=1

331. Sean X y Y independientes con distribuci´on Poisson de par´ametros
λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que la distribuci´on condicional
de X dado que X + Y = n es bin(n, λ 1 /(λ 1 + λ 2 )).
332. Encuentre la funci´on de densidad de X + Y cuando X y Y son inde-
pendientes con distribuci´on uniforme en los conjuntos {0, 1,... ,n} y
{0, 1,... ,m} respectivamente.

333. Sean X 1 ,... ,X n independientes con distribuci´on geo(p). Demuestre
que la variable X 1 + ··· + X n tiene distribuci´on bin neg(n, p).

334. Sean X y Y independientes. Encuentre la funci´on de distribuci´on de
Z en t´erminos de F X (x)y F Y (y)cuando
a) Z =m´ax{X, Y }. b) Z =m´ın{X, Y }.

335. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on exp(λ), y sea a
una constante. Calcule P(m´ax{X, Y } ≤ aX)y P(m´ın{X, Y } ≤ aX).

336. Sean X y Y independientes con distribuci´on exp(λ 1 )y exp(λ 2 )res-
pectivamente. Demuestre que P(Y> X)= λ 1 /(λ 1 + λ 2 ).