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204 3.13. Ejercicios

a)Var(X + Y )= Var(X)+ Var(Y ).
b)Var(X − Y )= Var(X) − Var(Y ).
c)Var(XY )= Var(X)Var(Y ).

355. Sean X y Y variables aleatorias independientes con varianza finita.
Demuestre que
2
2
Var(XY )= Var(X)Var(Y )+ E (X)Var(Y )+ E (Y )Var(X).
356. Sean X 1 ,... ,X n independientes con id´entica distribuci´on y con espe-
(x) ̸=0, entonces
ranza finita. Demuestre que si x es tal que f X 1 +···+X n
x
E(X 1 | X 1 + ··· + X n = x)= .
n

357. Sea (X, Y )un vector aleatorio discreto con funci´on de densidad f(x, y)
dada por la siguiente tabla.
x\y -1 0 1
1 .1 .05 .1
2 .06 .2 .04
3 .1 .05 .3

a)Grafique f(x, y)y compruebe que efectivamente se trata de una
funci´on de densidad conjunta.
b)Calcule y grafique las densidades marginales f X (x)y f Y (y). Ve-
rifique que ambas funciones son efectivamente de densidad.
c)Demuestre que X y Y no son independientes.
d)Calcule E(XY )y f X+Y (u).

358. Sea (X, Y )un vector discreto con funci´on de densidad dada por la
siguiente tabla.
x\y 2 4 6
1 2/18 3/18 1/18
2 3/18 5/18 1/18
3 1/18 1/18 1/18