Page 218 - cip2007

206 3.13. Ejercicios

362. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

a) X ≥ 0,Y ≥ 0 ⇒ Cov(X, Y ) ≥ 0.
b)Cov(X, Y )= 0, Cov(Y, Z)= 0 ⇒ Cov(X, Z)= 0.
c)Cov(X, Y ) > 0, Cov(Y, Z) > 0 ⇒ Cov(X, Z) > 0.
d)Cov(X, Y )= a, Cov(Y, Z)= a ⇒ Cov(X, Z)= a.

363. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

a)Cov(X, Y ) ≥ 0.
b)Cov(aX, bY )= ab Cov(X, Y ), con a, b constantes.
c)Cov(X, aY + b)= a Cov(X, Y )+ b, con a, b constantes.

364. Demuestre que

a)Cov(X, Y )= E(XY ) − E(X)E(Y ).
b)Cov(X, Y )= Cov(Y, X).

c)Cov(X, X)= Var(X).
d)Cov(X, −X)= −Var(X).
e)Cov(aX + b, Y )= a Cov(X, Y ), con a, b constantes.
f )Cov(X 1 + X 2 ,Y )= Cov(X 1 ,Y )+ Cov(X 2 ,Y ).

365. Demuestre que la condici´on Cov(X, Y )= 0 no es suficiente para con-
cluir que X y Y son independientes. En el texto se proporciona un
ejemplo para un vector discreto, construya ahora un ejemplo para un
vector continuo.

366. Demuestre que Var(X ± Y )= Var(X)+ Var(Y ) ± 2Cov(X, Y ).

367. Demuestre que
n
" "
a)Var(X 1 + ··· + X n )= Var(X k )+ 2 Cov(X j ,X k ).
k=1 j<k