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210 3.13. Ejercicios

a) {1,... ,n} × {1,... ,n}.
b)[−1, 1] × [−1, 1].

387. Sea X con distribuci´on bin(n, p)y sea Y = n − X.Demuestre que
Cov(X, Y )= −np(1 − p), y por lo tanto ρ(X, Y )= −1.

388. Calcule el coeficiente de correlaci´on de X y Y cuya funci´on de densidad
conjunta es

a) f(x, y)= 1 2 sen(x + y), para x, y ∈ [0, π/2].
b) f(x, y)= e −x /2, para |y| <x.
c) f(x, y)= e −x−y , para x, y > 0.

2
2
389. Sea (X, Y )un vector con distribuci´on normal N(µ X , σ ,µ Y , σ , ρ).
Y
X
Demuestre que ρ(X, Y )= ρ.
Distribuci´on multinomial

390. Demuestre que la funci´on de densidad de la distribuci´on multinomial
efectivamente lo es.

391. Sea (X 1 ,... ,X k−1 )un vector con distribuci´on multinomial de par´ame-
tros (n, p 1 ,... ,p k−1 ). Demuestre que cada coordenada X i tiene distri-
buci´on marginal bin(n, p i ), para i =1,... ,k − 1.

392. Sea X =(X 1 ,... ,X k−1 )un vector con distribuci´on multinomial de
par´ametros (n, p 1 ,... ,p k−1 ). Demuestre que E(X)= (np 1 ,... ,np k−1 )
yque
&
np i (1 − p i ) si i = j,
[Var(X)] ij =
−np i p j si i ̸= j.
Observe que en el caso i ̸= j,el signo negativo en la covarianza indica
que cuando una variable crece la otra decrece.