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Cap´ ıtulo 4. Esperanza condicional 215

Parte de la dificultad para entender esta definici´on general es que no se pro-
porciona una f´ormula expl´ıcita para esta variable aleatoria sino ´unicamente
las propiedades que cumple. El objetivo de este cap´ıtulo es encontrar el sig-
nificado de esta variable aleatoria, interpretar su significado y explicar su
relaci´on con el concepto de esperanza condicional elemental, E(X | Y = y),
mencionado antes. Haremos lo anterior principalmente en el caso cuando la
σ-´algebra G es generada por una variable aleatoria discreta.

Usando el teorema de Radon-Nikodym (v´ease por ejemplo [5]),puede de-
mostrarse que esta variable aleatoria existe y es ´unica casiseguramente,
esto significa que si existe otra variable aleatoria que cumple las tres propie-
dades de la definici´on anterior, entonces con probabilidad uno coincide con
E(X | G ). En lo sucesivo cuando se establezca que esta variable aleatoria
es igual a alguna otra variable, la igualdad debe entonces entenderse en el
sentido casi seguro, es decir, que la igualdad se verifica con probabilidad
uno.

Notaci´ on.

a) Cuando la σ-´algebra G es igual a σ(Y ), para alguna variable alea-
toria Y ,la esperanza condicional se escribe simplemente como
E(X | Y ), en lugar de E(X | σ(Y )).
b) Si A es un evento, entonces la esperanza condicional E(1 A | G )se
denota por P(A | G ).

En la siguiente secci´on estudiaremos con m´as detalle la variable E(X | Y )
cuando Y es una variable aleatoria discreta.