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218 4.2. Esperanza condicional: caso discreto

trar (4.2) para estos eventos simples. Tenemos entonces que
'
E(X | Y )(ω) dP(ω)= E(X | Y = y j ) P(Y = y j )
(Y =y j )
'
= X(ω) dP(ω | Y = y j ) P(Y = y j )
Ω
'
= X(ω) dP(ω,Y = y j )
Ω
'
= X(ω) dP(ω).
(Y =y j )

Observe la diferencia entre E(X | Y = y j )y E(X | Y ). El primer t´ermino es
un posible valor num´erico del segundo t´ermino que es una variable aleatoria,
sin embargo a ambas expresiones se les llama esperanza condicional. Vere-
mos a continuaci´on un caso particular de esta variable aleatoria. Demostra-
remos que la esperanza condicional puede verse como una generalizaci´on del
concepto b´asico de probabilidad condicional, y tambi´en puede considerarse
como una generalizaci´on del concepto de esperanza.

Proposici´ on.Sea X con esperanza finita, y sean A y B eventos tales
que 0 <P(B) < 1. Entonces

1. E( X |{∅, Ω} )= E(X).

2. E(1 A |{∅, Ω} )= P(A).
c
c
3. E(1 A |{∅,B,B , Ω} )= P(A | B)1 B + P(A | B )1 B .
c

Demostraci´on.

1. Esta igualdad se sigue del hecho que la variable E(X | G )es medi-
ble respecto de G ,y de que cualquier funci´on medible respecto de la