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Cap´ ıtulo 4. Esperanza condicional 221

4.3. Algunas propiedades

Veremos ahora algunas propiedades generales de la esperanzacondicional,
otras propiedades se encuentran en la secci´on de ejercicios. Recordemos que
las identidades o desigualdades que se establezcan para la esperanza condi-
cional son v´alidas en el sentido casi seguro, es decir, con probabilidad uno
se cumplen las afirmaciones. En un ap´endice al final del texto se encuentra
una lista m´as completa de propiedades de esta variable aleatoria.

Proposici´ on.Sean X y Y variables aleatorias con esperanza finita y
sea c una constante. Entonces

1. Si X ≥ 0, entonces E(X | G ) ≥ 0.

2. E(cX + Y | G )= cE(X | G )+ E(Y | G ).

3. Si X ≤ Y ,entonces E(X | G ) ≤ E(Y | G ).

4. E(E(X | G )) = E(X).
5. Si X es G -medible, entonces E(X | G )= X c.s.
En particular, E(c | G )= c.

6. Si G 1 ⊆ G 2 ,entonces

E(E(X | G 1 ) | G 2 )= E(E(X | G 2 ) | G 1 )= E(X | G 1 ).

Demostraci´on.

1. Por contradicci´on, suponga que existe G en G con probabilidad es-
trictamente positiva tal que E(X | G ) · 1 G < 0. Entonces tomando
esperanzas se obtiene E(X · 1 G ) < 0. Por otro lado, como X ≥ 0,
E(X · 1 G ) ≥ 0.