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222 4.3. Algunas propiedades

2. Esta igualdad es consecuencia de la linealidad de la esperanza no con-
dicional, junto con (4.1) y la propiedad de unicidad.
3. Esto consecuencia de la primera propiedad y la linealidad aplicadas a
la variable Y − X ≥ 0.

4. Esta propiedad se obtiene tomando G = Ω en la igualdad (4.1).

5. Si X es G -medible, entonces X mismo cumple con las tres propiedades
de la definici´on de esperanza condicional, por la unicidad seobtiene
la igualdad casi segura.

6. Para todo G ∈ G 1 ⊆ G 2 ,
' ' '
E(E(X | G 1 ) | G 2 ) dP = E(X | G 1 ) dP = XdP.
G G G
An´alogamente,
' ' '
E(E(X | G 2 ) | G 1 ) dP = E(X | G 2 ) dP = XdP.
G G G

En particular observe que la segunda propiedad dice que la esperanza con-
dicional es lineal, mientras que la cuarta propiedad establece que las varia-
bles aleatorias X y E(X | G )tienen la misma esperanza, o en t´erminos de
informaci´on, la σ-´algebra trivial {∅, Ω} realmente no proporciona ninguna
informaci´on adicional del experimento aleatorio y por lo tanto la esperanza
se calcula directamente sobre la variable aleatoria.

Ejercicio. Demuestre las siguientes desigualdades:

a) | E(X | G ) | ≤ E( |X|| G ). b) E |E(X | G )| ≤ E( |X| ). !
Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on Ber(p).
Encuentre E(X | X + Y ). !

Una introducci´on a la esperanza condicional ligeramente m´as completa a la