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Cap´ ıtulo 4. Esperanza condicional 227

a) E(X | X)= X. d) E(X | cX)= X.
2
2
b) E(X | X)= X . e) E(X | X + c)= X.
2
c) E(X | X )= X. f) E(X | X + Y )= X.
2
412. Demuestre que E(E (X | G )) = E(XE(X | G )).
413. Sea B 1 ,... ,B n una partici´on finita de Ω en donde cada elemento tiene
probabilidad positiva, y sean b 1 ,... ,b n constantes cualesquiera. Defina
la variable aleatoria discreta
n
"
Y = b i 1 B i .
i=1
Sea X con segundo momento finito. Demuestre que la distancia en-
2 1/2
tre X y Y definida por d(X, Y )= [E(X − Y ) ] es m´ınima cuando
b i = E(X | B i ), es decir, cuando la variable Y es la esperanza condi-
2
cional E(X | Y ). Sugerencia: observe que E(X − Y ) = ( n E[(X −
i=1
2
b i ) | B i )P(B i ), y la suma es m´ınima si, y s´olo si, cada sumando lo es.
414. Desigualdad de Cauchy-Schwarz condicional. Sean X y Y con
segundo momento finito. Demuestre que

2
2
2
E (XY | G ) ≤ E(X | G ) E(Y | G ).
Sugerencia: proceda como en la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el
caso no condicional, vea el ejercicio 191.
415. Desigualdad de Markov condicional. Sea X ≥ 0integrable.
Demuestre que para cualquier constante ϵ > 0,

1
P(X ≥ ϵ | G ) ≤ E(X | G ).
ϵ
Sugerencia: Vea la demostraci´on de la desigualdad de Markovno con-
dicional en la p´agina 347.

416. Sean X 1 ,X 2 ... independientes id´enticamente distribuidas y con espe-
ranza finita. Defina S n = X 1 +···+X n .Demuestre que para 1 ≤ k ≤ n,