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224 4.4. Varianza condicional

Proposici´ on.Sean X y Y con varianza finita, y sea c una constante.
Entonces

1. Var(X | G ) ≥ 0.

2. Var(c | G )= 0.

2
3. Var(cX | G )= c Var(X | G ).
4. Var(X + c | G )= Var(X | G ).
5. En general, Var(X + Y | G ) ̸=Var(X | G )+ Var(Y | G ).

2
2
6. Var(X | G )= E(X | G ) − E (X | G ).
7. Var(X)= E[Var(X | G )] + Var[E(X | G )].

Demostraci´on.

1. – 4. Estas propiedades son una consecuencia inmediata de las propiedades
ya demostradas de la esperanza condicional.

5. Nuevamente es suficiente tomar Y = X para verificar la no igualdad.

6. Esta igualdad se obtiene a partir de la definici´on al desarrollar el
cuadrado y utilizar las propiedades de linealidad de la esperanza con-
dicional.

7. Tomando esperanza en la igualdad previa se obtiene
2
2
E[Var(X | G )] = E(X ) − E[E (X | G )].
Por otro lado,
2
2
Var[E(X | G )] = E[E (X | G )] − E [E(X | G )]
2
2
= E[E (X | G )] − E (X).
Sumando estas ´ultimas dos expresiones se obtiene el resultado.