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228 4.5. Ejercicios

a) E(X k | S n )= S n /n.
b) E(S k | S n )= kS n /n.
c) E(X k | σ{S n ,S n+1 ,...})= S n /n.

d) E(S k | σ{S n ,S n+1 ,...})= kS n /n.

Varianza condicional

417. Demuestre que

a)Var(X |{∅, Ω})= Var(X).

b)Var(1 A |{∅, Ω})= P(A)(1 − P(A)).
418. Encuentre Var(X | Y )cuando X y Y se distribuyen de manera con-
junta de acuerdo a la siguiente tabla.

x\y -1 0 1
1 2/12 2/12 2/12
2 3/12 2/12 1/12

419. Demuestre que E(Var(X | G ) | G )= Var(X | G ).

420. Demuestre que Var(X) ≥ Var(X | G ).

2
2
421. Demuestre que E(X | G ) ≥ E (X | G ).
422. Demuestre que

a)si X es G -medible, entonces Var(X | G )= 0.
b)Var( Var(X | G ) | G )= 0.
c)si X es G -medible, entonces Var(Var(X | G )) = 0.