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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 231

d
Derivando se obtiene f Y (y)= f X (ϕ −1 (y))· ϕ −1 (y). Para ϕ estrictamente
dy
decreciente,

F Y (y)= P(Y ≤ y)
= P(ϕ(X) ≤ y)
= P(X ≥ ϕ −1 (y))
=1 − F X (ϕ −1 (y)).

d
Entonces f Y (y)= f X (ϕ −1 (y)) · [− ϕ −1 (y)]. En cualquiera caso se obtiene
dy
el resultado enunciado.

x
Por ejemplo, la funci´on ϕ(x)= e ,definida sobre toda la recta real cum-
ple con las condiciones del teorema anterior. Usaremos esta funci´on para
mostrar con dos ejemplos la forma de aplicar este resultado.

ϕ(x)= e x

x

x
Figura 5.2: La transformaci´on ϕ(x)= e .
2
Ejemplo.(Distribuci´ on log normal). Sea X con distribuci´on N(µ, σ ),
x
ysea ϕ la funci´on estrictamente creciente ϕ(x)= e ,con inversa diferencia-
ble ϕ −1 (y)= ln y.Entonces la variable aleatoria Y = e X toma valores en el
intervalo (0, ∞), y su distribuci´on se conoce con el nombre de distribuci´on
2
log normal(µ, σ ). Su funci´on de densidad tiene la siguiente expresi´on cuya