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234 5.1. Transformaci´ on de una variable aleatoria

que permanece constante para y/∈ ϕ 1 (a, b), de modo que, suponiendo por
ejemplo ϕ 1 creciente, y para y ∈ ϕ 1 (a, b),
d d
P[(ϕ 1 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (a, b))] = P[(X ≤ ϕ −1 (y)) ∩ (X ∈ (a, b))]
dy dy 1
d
= P[a< X ≤ ϕ −1 (y)]
dy 1
d
= F X (ϕ −1 (y))
dy 1
d
= f X (ϕ −1 (y)) ϕ −1 (y).
1
dy 1
De manera an´aloga se procede respecto del segundo sumando, considerando
tambi´en el caso cuando se presenta la monoton´ıa decreciente. De esta forma
se obtiene la f´ormula enunciada.

Ejemplo.Sea X continua con funci´on de densidad f X (x). Considere la
2
transformaci´on ϕ(x)= x ,la cual es estrictamente decreciente en (−∞, 0),
yestrictamente creciente en (0, ∞).

ϕ(x)= x 2

x
ϕ 1 ϕ 2
2
Figura 5.3: La transformaci´on ϕ(x)= x como dos secciones mon´otonas.
2
Defina entonces las funciones mon´otonas ϕ 1 (x)= x sobre (−∞, 0), y
√
2
ϕ 2 (x)= x sobre (0, ∞). Entonces sus inversas son ϕ −1 (y)= − y,y
1
2
ϕ −1 (y)= √ y.La variable Y = X tiene por lo tanto funci´on de densi-
2
dad
⎧
√ 1 √ 1
⎨ si y> 0,
f X (− y) √ + f X ( y) √
f Y (y)= 2 y 2 y
0 si y ≤ 0.
⎩