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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 235

!
Ejercicio. Sea X con distribuci´on uniforme en el intervalo (0, 1). Demues-
tre que la funci´on de densidad de la variable Y =4X(1 − X)es
1
⎧
√
⎨ si 0 <y < 1,
f(y)= 2 1 − y
0 otro caso.
⎩
!
Ejercicio. Sea X con distribuci´on normal est´andar. Demuestre que la va-
riable aleatoria Y = |X| tiene funci´on de densidad

⎧ A
2
2
⎪ −y /2
⎨ e si y> 0,
f(y)= π
⎪
0 si y ≤ 0.
⎩
!
Ejercicio. Sea X con distribuci´on uniforme en el intervalo [−1, 1]. Encuen-
√
tre la funci´on de densidad de la variable Y = 1 − X . !
2

5.2. Transformaci´on de un vector aleatorio

Suponga ahora que (X, Y )es un vector con funci´on de densidad conocida,
2
y ϕ(x, y)es una funci´on definida en alg´un subconjunto de R ycon valores
2
en R .El problema es encontrar la funci´on de densidad delnuevo vector
ϕ(X, Y ). Gr´aficamente esta transformaci´on se ilustra en la Figura5.4.

La transformaci´on ϕ(x, y)se escribir´a como (ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y)), y la deriva-
da de la primera componente respecto de x,por ejemplo,se escribe ∂ x ϕ 1 .