Page 228 - cip2007

216 4.2. Esperanza condicional: caso discreto

4.2. Esperanza condicional: caso discreto

Sean X y Y dos variables aleatorias. Suponga que X tiene esperanza finita y
que Y es discreta con posibles valores y 1 ,y 2 ,... La esperanza condicional de
X dado el evento (Y = y j )es el n´umero E(X | Y = y j ). Este valor depende
naturalmente del evento (Y = y j ), y podemos considerar que es una funci´on
de los posibles valores y j ,o bien que tenemos una funci´on definida sobre el
espacio muestral de la siguiente forma: Si ω es tal que Y (ω)= y j ,entonces

ω 8→ E(X | Y )(ω)= E(X | Y = y j ).

Observe que E(X | Y )toma a lo sumo tantos valores distintos como lo hace
la variable Y .Globalmente se puede escribir esta funci´on en t´erminos de
funciones indicadoras como sigue

∞
"
E(X | Y )(ω)= E(X | Y = y j )1 (Y =y j ) (ω).
j=1

De este modo se construye la funci´on E(X | Y ): Ω → R,que resulta ser
una variable aleatoria, y corresponde a un caso particular dela definici´on
general enunciada antes. Demostraremos esto a continuaci´on.