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208 3.13. Ejercicios

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b) f(x, y)= 3x y, para − 1 <x < 1, 0 <y < 1.
c) f(x, y)= e −x /2, para |y| <x.
d) f(x, y)= e −x−y , para x, y > 0.

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375. Sea (X, Y )un vector con distribuci´on normal N(µ X , σ ,µ Y , σ , ρ).
Y
X
Demuestre que Cov(X, Y )= ρσ X σ Y .
Coeficiente de correlaci´on

376. Demuestre nuevamente que −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1, ahora a partir de la
desigualdad de Cauchy-Schwarz.

377. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

a) ρ(X, Y )= 0, ρ(Y, Z)= 0 ⇒ ρ(X, Z)= 0.
b) ρ(X, Y ) > 0, ρ(Y, Z) > 0 ⇒ ρ(X, Z) > 0.
c) ρ(X, Y ) < 0, ρ(Y, Z) < 0 ⇒ ρ(X, Z) < 0.
d) ρ(X, Y )= 1, ρ(Y, Z)= 1 ⇒ ρ(X, Z)= 1.
e) ρ(X, Y )= −1, ρ(Y, Z)= −1 ⇒ ρ(X, Z)= −1.

f ) ρ(X, Y )ρ(Y, Z)= −1 ⇒ ρ(X, Z)= −1.
g) ρ(X, Y )= a, ρ(Y, Z)= a ⇒ ρ(X, Z)= a.

378. Diga falso verdadero. Demuestre en cada caso.
a) ρ(X, Y )= ρ(Y, X).
b) ρ(X + a, Y )= ρ(X, Y ), a constante.

c) ρ(aX + b, Y )= a ρ(X, Y )+ b, a, b constantes.
379. Sea a un n´umero cualquiera en [−1, 1]. Encuentre variables aleatorias
X y Y tales que ρ(X, Y )= a.

380. Sean X y Y independientes con distribuci´on Ber(p)con p =1/2.
Demuestre que el coeficiente de correlaci´on entre X + Y y |X − Y | es
cero, y sin embargo estas variables aleatorias no son independientes.