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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 209

381. Sea X con distribuci´on normal est´andar. Demuestre que el coeficiente
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de correlaci´on entre X y X es cero, y sin embargo estas variables no
son independientes. Este resultado puede extenderse al caso en el que
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la distribuci´on de X cumple la condici´on E(X)= E(X )= 0.
382. Sea X una variable aleatoria y sean a y b constantes. Demuestre que

a) ρ(X, X)= 1.
b) ρ(X, −X)= −1.
c) ρ(X, aX + b)= signo(a).

383. Demuestre que ρ(aX + b, cY + d)= signo(ac) · ρ(X, Y ), en donde
ac ̸=0. Recuerde que
⎧
⎨ +1 si x> 0,
signo(x)= −1si x< 0,
⎩
0 si x =0.

384. Calcule el coeficiente de correlaci´on de X y Y cuya funci´on de densidad
conjunta est´a dada por la siguiente tabla.

x\y 1 2
0 1/8 1/4
1 1/2 1/8

385. Calcule el coeficiente de correlaci´on de X y Y cuya funci´on de densidad
conjunta est´a dada por la siguiente tabla.

x\y 1 2 3
2 1/9 1/9 1/9
4 1/9 1/9 1/9
6 1/9 1/9 1/9

386. Calcule el coeficiente de correlaci´on de X y Y con distribuci´on con-
junta uniforme en el conjunto