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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 201

337. Sean X y Y independientes e id´enticamente distribuidas. Demuestre
que P(Y> X)= 1/2.
338. Sean X y Y variables independientes con distribuci´on exponencial
con par´ametros λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que m´ın{X, Y }
tiene distribuci´on exponencial con par´ametro λ 1 + λ 2 ,y que P(X 1 =
m´ın{X 1 ,X 2 })= λ 1 /(λ 1 +λ 2 ). Este resultado puede extenderse al caso
de n variables independientes exponenciales.

339. Usando la siguiente tabla, construya una funci´on de densidad f(x, y)
de un vector discreto (X, Y ), distinta de la densidad uniforme, con la
condici´on de que X y Y sean independientes.

x\y 0 1
0 · ·
1 · ·

340. Sea (X, Y )un vector discreto con distribuci´on de probabilidad unifor-
me en el conjunto {1,... ,n}×{1,... ,m},con n y m enteros positivos.
Demuestre que X y Y son independientes.

341. Sea (X, Y )un vector con funci´on de densidad f(x, y)= c (1−x), para
0 <x <y < 1.

a)Encuentre el valor de c que hace a f(x, y)una funci´on de densidad
ygrafique esta funci´on.
b)Calcule P(X + Y> 1) y P(X ≤ 1/2).
c)Encuentre las funciones de densidad marginales f X (x)y f Y (y).
d)Determine si X y Y son independientes.

342. Sea (X, Y )un vector aleatorio con funci´on de densidad f(x, y)=
c/2 x+y ,para x =0, 1, 2, y y =1, 2. Encuentre el valor de la cons-
tante c ydetermine si X y Y son independientes. Calcule adem´as las
probabilidades P(X =1), P(X =2 | Y =2) y P(XY =2).

343. Sea (X, Y )un vector aleatorio con funci´on de densidad f(x, y)= 2,
para 0 <x <y < 1.