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198 3.13. Ejercicios

316. Demuestre que si tres variables aleatorias son independientes, entonces
cualesquiera dos de ellas lo son. M´as generalmente, demuestre que
cualquier subconjunto finito de un conjunto de variables aleatorias
independientes tambi´en lo es.

317. Sean X y Y independientes. Demuestre que cada uno de los siguientes
pares de variables aleatorias tambi´en son independientes.El siguiente
ejercicio generaliza este resultado.
a) X y − Y . b) |X| y |Y |.

318. Sean X 1 ,... ,X n independientes, y sean g 1 ,... ,g n : R → R funciones
Borel medibles. Demuestre que las variables g 1 (X 1 ),... ,g n (X n )son
independientes.
319. Demuestre que las variables aleatorias X 1 ,... ,X n son independientes
n
si, y s´olo si, para cualquier vector (x 1 ,... ,x n )en R se cumple
(x n ).
F X 1 ,...,X n (x 1 ,... ,x n )= F X 1 (x 1 ) ··· F X n

k
320. Sean X 1 ,... ,X n independientes, y sea 1 ≤ k< n.Sean g : R → R y
h : R n−k → R funciones Borel medibles. Demuestre que las variables
aleatorias g(X 1 ,... ,X k )y h(X k+1 ,... ,X n )son independientes.

321. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes. Recuerde las defi-
niciones X + =m´ax{0,X} y X − = − m´ın{0,X}.Demuestre que cada
uno de los siguientes pares de variables aleatorias tambi´enson inde-
pendientes.
+
+
a) X + y Y . b) X + y Y . c) X − y Y . d) X − y Y .
−
−
322. Determine si las siguientes son funciones de densidad devariables alea-
torias independientes.
1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab
b) f(x, y)= 2x, para 0 <x, y < 1.

c) f(x, y)= 2e −x−y , para 0 <x <y.