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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 197

b) f X (x)y f Y (y).
c) f Y | X (y | x)para x =1, 2, 3.
d) E(Y | X = x)para x =1, 2, 3.

310. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on exp(λ). Demuestre
que la distribuci´on condicional de X dado que X +Y = u,es uniforme
en el intervalo (0,u).
311. Sean A y B dos eventos con probabilidad positiva y sea X una variable
con esperanza finita. Demuestre o proporcione un contraejemplo.

a)Si A ⊆ B,entonces E(X | A) ≤ E(X | B).
b) E(X | A) ≤ E(X).

Independencia de variables aleatorias

312. Sean X y Y variables aleatorias discretas con valores en los conjuntos
{x 1 ,x 2 ,...} y {y 1 ,y 2 ,...},respectivamente. Demuestre que X y Y son
independientes si, y s´olo si, para cualesquiera valores de los ´ındices
i, j =1, 2,... P(X = x i ,Y = y j )= P(X = x i ) P(Y = y j ).

313. Sea (X, Y )un vector aleatorio absolutamente continuo con funci´on de
densidad f X,Y (x, y). Demuestre que las variables X y Y son indepen-
dientes si, y s´olo si, para casi todo par de n´umeros x y y se cumple
f X,Y (x, y)= f X (x) f Y (y).

314. Demuestre la variable aleatoria constante es independiente de cual-
quier otra variable aleatoria. Inversamente, suponga que X es inde-
pendiente de cualquier otra variable aleatoria, demuestre que X es
constante.

315. Demuestre que los eventos A y B son independientes si, y s´olo si, las
variables aleatorias indicadoras 1 A y1 B lo son.