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192 3.13. Ejercicios

y
b

x
−a a

−b

Figura 3.12:

298. Demuestre que la funci´on de densidad condicional x 8→ f X|Y (x|y)=
f X,Y (x, y)/f Y (y)es efectivamente una funci´on de densidad univariada.
En el caso absolutamente continuo compruebe adem´as que f X|Y (x|y)=
∂/∂xF X|Y (x|y).

299. La distribuci´ on exponencial no tiene memoria. Sea X con
distribuci´on exp(λ)y sea t> 0 fijo. Demuestre que la distribuci´on
condicional de X − t,dado que X ≥ t,sigue siendo exp(λ).

300. Calcule las funciones condicionales f X|Y (x|y)y F X|Y (x|y), para las
siguientes funciones de densidad.

1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab
b) f(x, y)= 4xy, para 0 <x, y < 1.
c) f(x, y)= 24x(1 − x − y), para x, y > 0y x + y< 1.

d) f(x, y)= (x +2y)/4, para 0 <x < 2y 0 <y < 1.
e) f(x, y)= 2(4x + y)/5, para 0 <x, y < 1.
f ) f(x, y)= 1/x, para 0 <y <x < 1.
g) f(x, y)= xy/25, para 0 <x < 2, 0 <y < 5.

301. Calcule las funciones condicionales F X | Y (x | y)y f X | Y (x | y), para las
siguientes funciones de distribuci´on conjunta.
1 1
a) F(x, y)= (1 − e −x )( + tan −1 y), para x ≥ 0.
2 π