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190 3.13. Ejercicios

287. Sean f(x)y g(x)dos funciones de densidad. Demuestre o proporcione
un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
a) x 8→ f(x)g(x)es una funci´on de densidad univariada.

b)(x, y) 8→ f(x)g(y)es una funci´on de densidad bivariada.

288. Sea (X, Y, Z)un vector con funci´on de densidad
& 3 −λ(x+y+z)
λ e si x, y, z > 0,
f(x, y, z)=
0 otro caso,
en donde λ es una constante. Calcule P(X< 1,Y > 2,Z < 3), P(X>
2,Y < 1) y P(X + Y + Z< 1).

289. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on exp(λ). Encuentre
la funci´on de densidad y de distribuci´on de las variables X∧Y y X∨Y ,
cada una de ellas por separado y despu´es de manera conjunta.

Distribuci´on marginal

290. Suponiendo el caso absolutamente continuo, demuestre que la funci´on
3
de densidad marginal f X (x)= ∞ f X,Y (x, y) dy es efectivamente una
−∞
funci´on de densidad univariada.
291. Demuestre que la funci´on de distribuci´on marginal

x 8→ F X (x)= l´ım F X,Y (x, y)
y→∞
es efectivamente una funci´on de distribuci´on univariada.

292. Encuentre las funciones de distribuci´on marginales del vector (X, Y )
cuya funci´on de distribuci´on es

a) F(x, y)= (1 − e −x )(1 − e −y ), para x, y > 0.

b) F(x, y)= (1 − e −x 2 )(1 − e −y 2 ), para x, y > 0.