Page 198 - cip2007

186 3.13. Ejercicios

3.13. Ejercicios

Vectores aleatorios

269. Sea (Ω, F,P)un espacio de probabilidad y sea (X 1 ,... ,X n ): Ω →
n
R una funci´on tal que cada coordenada es una variable aleatoria.
n
Demuestre que la siguiente colecci´on es una sub σ-´algebra de B(R ).
n
{B ∈ B(R ): (X 1 ,... ,X n ) −1 B ∈ F}.

Distribuci´on conjunta

270. Grafique y demuestre que las siguientes funciones son de distribuci´on.
1 1
a) F(x, y)= (1 − e −x )( + tan −1 y), para x> 0, y ∈ R.
2 π
b) F(x, y)= 1 − e −x − e −y + e −x−y , para x, y > 0.

271. Investigue si las siguientes funciones son de distribuci´on.

a) F(x, y)= 1 − e −xy , para x, y > 0.
b) F(x, y)= 1 − e −x−y , para x, y > 0.
272. Demuestre que la siguiente funci´on no es de distribuci´on. Extienda
este resultado al caso n-dimensional.
&
0si x + y + z< 0,
F(x, y, z)=
1si x + y + z ≥ 0.

273. Demuestre que la siguiente funci´on no es de distribuci´on.
&
m´ın{1, m´ax{x, y}} si x, y > 0,
F(x, y)=
0 otro caso.

274. Sean F(x)y G(x)dos funciones de distribuci´on. Demuestre o propor-
cione un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.